問題3
10本のうち2本が当たりのくじがある。Aさんが先に1本のくじを引き、それを戻さずに、次にBさんが1本のくじを引いた。この時、Bさんが当たりのくじを引く確率を答えよ。
【選択肢】
① 1/9 ② 2/9 ③ 1/6 ④ 1/5 ⑤ 1/3
【答え】4
解説
組み合わせ
設問よりAさんとBさんがくじを引いた結果は以下の4通りになります。この組み合わせからBさんが当たりを引く確率は① + ③になります。
- Aさん：当たり × Bさん：当たり
- Aさん：当たり × Bさん：ハズレ
- Aさん：ハズレ × Bさん：当たり
- Aさん：ハズレ × Bさん：ハズレ
また、Bさんの結果がAさんの結果に左右される等、条件に影響されて変化する確率を条件付き確率と呼びます。ここで当たりを1, ハズレを0と表すとき、確率を以下の式で表現します。
- Bさんが当たりを引く確率
⇨ \(P(B=1)\) - Aさんが当たりを引いた後でBさんが当たりを引く確率（条件付き確率）
⇨ \(P(B=1|A=1)\)
確率の計算
Bさんが当たりの引く確率はAさんの結果に左右されるため、Aさんが当たりを引いた時とハズレを引いた時でそれぞれ確率を計算します。
式1
\begin{align}
P(B=1|A=1)=\frac{2}{10} \cdot \frac{1}{9}=\frac{1}{45} \\
\\
P(B=0|A=1)=\frac{2}{10} \cdot \frac{8}{9}=\frac{8}{45} \\
\\
P(B=1|A=0)=\frac{8}{10} \cdot \frac{2}{9}=\frac{8}{45} \\
\\
P(B=0|A=0)=\frac{8}{10} \cdot \frac{7}{9}=\frac{28}{45} \\
\end{align}
※ 確率の合計は必ず1になります
式1の結果からBさんが当たりを引く確率を取り出し、合計を計算します。
式2
\begin{align}
P(B=1) &= P(B=1|A=1)+P(B=1|A=0) \\
\\
&= \frac{1}{45}+\frac{8}{45}\\
\\
&= \frac{1}{5} \\
\end{align}
したがって、Bさんが当たりを引く確率は1/5になります。
